Civilizatiii

Civilizatia Sumeriana a inflorit cu 4.000 ani i.C. in fertila campie dintre Tigru si Eufrat. Era o civilizatie avansata care construia orase si sisteme de irigatie, care a realizat un sistem legislativ, care avea un sistem administrativ performant si chiar un serviciu postal. k8y22yt
Cu peste 3.500 ani i.C., sumerienii scriau pe tablite de lut. Obiecte diferite erau reprezentate prin simboluri diferite, iar numarul acestora era era prezentat prin repetitie.
Prin anul 3.200 i.C. Sumerul este cucerit de akkadieni. Cele doua civilizatii isi unesc cunostintele in toate domeniile.
Acest sistem avea doua mari inconveniente. In primul rand, pentru fiecare obiect trebuia sa existe un simbol caracteristic, simboluri care - evident - trebuia memorate. Al doilea inconvenient era legat de reprezentarea cantitatii. Pentru a reprezenta trei butoaie de ulei se repeta de trei ori simbolul acestuia. Dar daca numarul acestora este mai mare, scrierea nu mai este asa de simpla si poate conduce la erori. Dezvoltarea economica a impus crearea unui alt sistem de reprezentare.
Prima mare inovatie dupa inventarea scrisului a fost abstractizarea numarului de obiecte de acelasi fel. Astfel, trei butoaie cu ulei erau reprezentate prin simbolul pentru trei urmat de simbolul pentru butoi cu ulei. La fel se puteau reprezenta 3 oi, 3 vaci, in general 3 obiecte de acelasi fel. Un astfel de sistem este metrologic (asa cum scriem 3 kg, 3 h, 3 m). Astfel, simbolul pentru "trei" nu este in totalitate abstract, dar a reprezentat un salt urias in dezvoltarea reprezentarii numerelor si a calculului.
Sumerienii foloseau 60 de simboluri numerice, dar nu pentru orice fel de numere. Astfel, aveau un set de simboluri (o tabla) pentru numararea obiectelor discrete (cum ar fi oi, butoaie etc.) si o alta tabla pentru calcularea ariilor sau volumelor.
Pentru a numara obiectele discrete (de ex. oi, capre, pesti) simbolul pentru un singur obiect era un mic con. Zece conuri erau inlocuite printr-un cerc mic. Sase cercuri mici se inlocuiau printr-un con mare. Zece conuri mari erau reprezentate printr-un con mare cu un cerc mic in interior. Sase conuri mari se inlocuiau printr-un cerc mare. In fine, 10 cercuri mari erau reprezentate printr-un cerc mare in interiorul caruia era plasat un cerc mic. Astfel, ultima unitate numara 10 · 6 · 10 · 6 · 10 = 36.000 obiecte.
10 6 10 6 10

Scrierea pe tablitele de lut se putea face foarte usor: cercul era creat prin apasarea verticala a unui cui, conul prin aplicarea oblica a cuiului pe tablita.
Sumerienii foloseau si un sistem bisexagesimal in care factorii de multiplicare erau 10, 6, 2, 10 si 6, astfel ca simbol pentru cantitatea cea mai mare (un cerc mare cu doua cercuri mici interioare) avea valoarea de 6 · 10 · 2 · 6 · 10 = 7.200 unitati de baza.
Un alt sistem era folosit pentru masurarea granelor. In acest sistem, factorii de multiplicare erau 5, 10, 3, si 10, astfel incat unitatea cea mai mare (un con mare cu un cerc mic in interior) avea valoarea de 10 · 3 · 10 · 5 = 1.500 unitati de baza.
Astfel, acelasi semn putea fi folosit in diferite sisteme, valoarea sa depinzand de sistemul respectiv. De exemplu, cercul mic putea insemna 6, 10 or 18 conuri mici.
Treptat, in decursul mileniului 3 i.C., aceste semne au fost inlocuite de echivalentul lor cuneiform.
Pe la sfarsitul mileniului 3 i.C. a fost introdus sistemul de numeratie sexagesimal pozitional. Numarul de simboluri a fost redus la doua: , derivat din conul mic, si derivat din cercul mic, care avea valoarea de 10 unitati de baza. Sistemul arata acum astfel:
10 6 10 6 10
... si putea continua indefinit. Apare totusi un inconvenient: simbolul poate reprezenta 1, 60 (6 · 10), 3.600 (60 · 60) etc. unitati de baza, valoarea sa depinzand de pozitia pe care o ocupa.
Sistemul sexagesimal pozitional a usurat foarte mult efectuarea calculelor, numai ca el era folosit exclusiv la efectuarea calculelor. Rezultatele obtinute erau apoi transformate in vechile sisteme metrologice.

Babilonian

Civilizatia babiloniana a inlocuit-o pe cea sumeriana incepand cu 2.000 i.C.. Babilonienii au mostenit cunostintele pe care le aveau sumerienii si akadienii. Desi au imprumutat scrierea numerelor si baza de numeratie de la acestia, sistemul de numeratie a evoluat devenind pozitional.
Babilonienii stabilisera unitati de masura pentru lungime, masa si volum, timp (impartisera ziua in 24 de ore, ora in 60 de minute si minutul in 60 de secunde), creasera un calendar foloseau impartirea cercului in 360 de grade. Babilonienii aveau cunostinte astronomice avansate, putand sa prevada eclipsele de soare si de luna. Foloseau fractiile, patratul unui numar, radacina patrata.
Au inventat un sistem de scriere pozitional cu baza 60. Aveau un semn pentru unu , care repetat dadea doi , trei si asa mai departe, pana la zece, pentru care exista un alt semn . Combinand semnele reprezentand pe unu si pe zece se obtin 11, 12, ..., 59. Pentru saizeci se folosea acelasi semn ca pentru unu, dar valoarea sa era data de coloana in care se gasea. Se putea continua avand posibilitatea reprezentarii oricarui numar.Fiind pozitional, sistemul este usor de folosit deoarece utilizeaza acelasi semn pe diferite locuri, valoarea sa intrinseca ramanand aceeasi, dar valoarea efectiva depinzand de pozitia pe care o ocupa.
Nu au fost descoperite table pentru adunare sau scadere. Se presupune ca scribii invatau sa adune si sa scada odata cu invatarea cititului si scrisului, asa ca tablele pentru adunare si scadere nu-si aveau rostul. In schimb, exista o multime de table de multiplicare. Pe la 2.300 i.C. au inventat abacul si au creat metode pentru adunarea, scadere, inmultire si impartire.
Babilonienii au creat table pentru inmultire sub doua forme: table simple si table combinate. Tablele simple contin produsele unui singur numar, numit numar principal (de ex. 5, 10). Deoarece baza de numeratie este 60, s-ar parea ca tabla trebuia sa contina 58 de linii (de la 2 la 59). In realitate, tablele contineau liniile cu produsele de la 2 la 20, apoi cu 30, 40 si 50. Daca se dorea produsul cu 39 (de ex.) se adunau multiplul lui 30 cu multiplul lui 9. Uneori tablele se incheiau cu patratul numarului principal. Tablele combinate contin mai multe numere principale, fiind de fapt, formate din mai multe table simple (de ex. cu 12-30, cu 44-26-40). Aproape toate tablele care apar in table combinate se gasesc si separat, ca table simple.
Pentru a putea calcula mai usor un produs foloseau formula: ab = a(a + b)2 -; a2 -; b2i/2 sau o formula chiar mai eficienta: ab = a(a + b)2 -; (a -; b)2i/4
A fost descoperita o tabla a patratelor numerelor pana la 59 si una a cuburilor pana la 32.
Nu exista table pentru impartire, in schimb a fost creata o tabla de inverse. Inversul numarului n este fractia 1/n. In loc sa imparta un numar la n, babilonienii il inmulteau cu cu inversul lui n. Ca si in sistemul nostru de numeratie, si in sistemul babilonian existau fractii sexagesimale infinite. Evident, singurele inverse care erau fractii sexagesimale finite erau cele care nu contineau alti factori afara de puteri ale lui 2, 3 si 5.
Mai exista si cateva table pentru radacina patrata si cubica. Exista si table pentru rezolvarea unor probleme financiare. In fine, au fost gasite si cateva table de conversie pentru unitati de masura. Exista o tabla de corespondenta intre lungimea diagonalei si latura patratului.
Matematica babilonienilor se ocupa de lucruri practice, in special de calcule. Nu se punea problema unei demonstratii. Interesul pentru studiul geometriei era, de asemenea, minor. Desi foloseau constructii geometrice, problemele conduceau la calcule aritmetice. Problemele erau formulate cu date concrete, din viata de zi cu zi. Elevilor li se cerea sa afle lungimi de canale, masa unor stanci, aria unor terenuri, numarul de caramizi folosite intr-o constructie etc. De obicei se cerea aflarea lungimii laturii sau diagonalei unui patrat, determinarea ariei sau a volumului. Pe unele tablite erau desenate figuri geometrice standard cum ar fi patrat, dreptunghi, triunghi, trapez, cerc etc. Studiul corpurilor geometrice era dominat de calcul de caramizi si planuri inclinate, dar apar si cilindri, trunchiuri de con si piramide.

Abacul

Originea abacului se pierde in negura timpului. La inceput, tabla abacului era o suprafata plana pe care erau trasate linii de-a lungul carora se puteau misca o serie de pietre pentru a se executa operatii aritmetice. Foarte multe civilizatii au folosit abacul pentru realizarea calculelor aritmetice. In Europa, odata cu raspandirea cifrelor arabe si cu aparitia hartiei, majoritatea au renuntat la utilizarea lui. Se stie ca in Italia abacul a disparut in sec.16. In partea de nord a Europei, din cauza nivelului scazut de trai si a conservatorismului, abacul a ramas in uz pana in sec.18.
Avem impresia gresita ca numai cei din orient au folosit abacul, asta pentru ca in Europa a disparut de foarte multa vreme, pe cand in orient mai este folosit si azi. Dupa infrangerea lui Napoleon in campania de invadare a Rusiei (1812), unii dintre soldati s-au intors in Franta aducand ca pe o curiozitate abace rusesti. Nu stiau ca bunicii lor le folosisera in in treburile lor zilnice! Dar nu numai europenii si asiaticii au utilizat abacul, conchistadorii au gasit abace la populatiile de pe actualele teritorii ale Mexicului si Peruului
In forma sa moderna, abacul a fost inventat de chinezi prin secolul 13, de la care a fost preluat de coreeni (sec.15) si de japonezi (sec.17). Se stie ca abacul mai era inca folosit acum 250 de ani in unele zone ale Europei.
Multi dintre termenii moderni din matematica si comert provin din denumirile legate de abac. De exemplu, romanii denumeau pietrele abacului calculi; de aici provin termenul a calcula si derivatele sale calcul, calculator. In Anglia, tabla abacului era denumita, in general, counting board sau, mai simplu, counter. Fireste, fiecare comerciant avea in magazin un counter cu care facea calculul valorii marfurilor vandute. De aici provine termenul modern de contor (pl. contoare).
In Europa, abacul a fost standardizat in sec.13: o tabla pe care erau trasate linii care indicau locul de pozitionare a pietrelor de socotit. Linia de jos era linia unitatilor, urmatoarele linii aveau valoarea de 10 ori mai mare decat a liniei de dedesubt; fiecare spatiu dintre linii avea valoarea de 5 ori mai mare decat a liniei de dedesubt. Nu puteau fi puse mai mult de 4 pietre pe o linie si cel mult una pe un spatiu. Atunci cand numarul de pietre de pe o linie ar fi devenit 5, erau scoase de pe linie si pusa o piatra in spatiul de deasupra acesteia. Daca numarul de pietre de pe un spatiu ar fi devenit 2, erau luate de pe spatiu si pusa o piatra pe linia de deasupra spatiului.
Prin secolul 13 pietrele folosite pentru calcul la abac au capatat forma de moneda. Aceste piese erau cast, aruncate sau apasate pe tabla abacului. In Franta piesele acestea erau numite jetoane din verbul jeter (a arunca).
Abacul chinezesc
Prin anii 1.500 i.C., chinezii au inventat abacul. Acesta era format dintr-un cadru de lemn cu o bara orizontala care poate culisa pe verticala, impartindu-l in doua compartimente.
Pe verticala sunt fixate mai multe bare (de obicei 17) pe care pot culisa 7 bile: doua in partea de sus si cinci in cea de jos. Fiecare bila de jos are valoarea 1; fiecare bila de sus are valoarea de 5. Astfel, pe o bara poate fi reprezentat orice numar cuprins intre 1 si 15. Orice valoare mai mare ca 9 este stocata temporar, ca rezultat intermediar.
In imagine este prezentat un abac chinezesc in care este stocata valoarea 279.
Abacul japonez
Sistemul de numeratie folosit de ei era zecimal si pozitional, dar nu in acceptia actuala.